泛克里金插值法的原理及其应用
# 1.引言
普通克里金法要去区域化变量是二阶平稳或者内蕴的，至少是准二阶或者准内蕴的。在此条件下，至少在估计领域内有
（常数），即期望为常数。然而实际中，许多区域化变量
在估计领域内是非平稳的，即
，这时就不能用普通克里金方法进行估计，而是要采用泛克里金法进行估计。
# 2.泛克里金原理
# 2.1泛克里金法的定义
所谓泛克里金，就是在漂移的形式和非平稳随机函数
的协方差函数
或变异函数
为已知的条件下，一种考虑到有漂移的无偏线性估计量的地统计学方法，这种方法属于线性非平稳地统计学范畴。
# 2.2 漂移和涨落
# 漂移
漂移定义为非平稳区域化变量的数学期望，在任一点
上的漂移就是该点上区域化变量
的数学期望。其表达式为：
漂移比较复杂，不能用简单分析表达式来模拟整个样品域，经常用领域模型来研究。在给定的以点为中心的领域内的任一点，其漂移
可用如下函数表示：
式中，为一已知函数；
是未知系数。
通常采用多项式形式，在二维条件下，漂移可看成坐标
的函数。
# 涨落
对于有漂移的区域化变量，假设可分解为漂移和涨落两部分，如下所示：
式中，为点
处的漂移，
称为涨落。那么，区域化变量
的分解可以这样理解：
由两个不同尺度的现象合成，
是在较大尺度下可以观察的现象变化，
是在较小尺度下的现象变化。由此可得到：
所以，可见，涨落是一个数学期望为0的区域化变量，可认为涨落是围绕漂移
摆动的随机误差。
# 2.3 非平稳区域变量的协方差函数和变异函数
# 2.3.1 基本假设
假设的增量
具有非平稳的数学期望
和非平稳的方差函数，即假设下式存在：
# 2.3.2 协方差和变异函数
当时，
的协方差函数
为：
即，说明
的协方差函数就等于涨落
的协方差函数
。
的变异函数
为：
即，说明
的变异函数就等于涨落
的变异函数
# 2.4
的克里金法估计
由于多为未知，故不能基于原始数据用
来计算
。因此泛克里金估计有两方面的内容，一是
的估计，二是
的估计。由于泛克里金法比较复杂，本文仅简单解释
的估计问题。
设为一非平稳区域化变量，其数学期望为
，协方差函数为
且已经，则：
设的漂移
可表示为如下
个单项式
的线性组合
已知个样点
，其观测值为
，现要用这些样点估计领域内任一点
的值
，
的泛克里金估计量为：
为使得为
的无偏最优估计量，需要在以下两个条件下求解权重系数
。
# 2.4.1 无偏性条件
若要满足无偏性条件，需，则
即对任一组系数等式均成立，需
成立。这个子式称为无偏性条件。
# 2.4.2 最优性条件
在满足无偏性条件下，用估计
的泛克里金估计方差为：
将无偏性条件带入，可得到
要求在满足无偏性条件下，使得估计方差最小的权重系数。
需要根据拉格朗日乘数法原理，建立拉格朗日函数。
求出函数对
个权系数
的偏导数，并令其为0，并和无偏性联立建立如下方程组。
整理得到估计的泛克里金方程组：
从泛克里金方程组可以得到以下两等式：
将等式带入估计方差公式，可得到泛克里金方法，记为。
用变异函数表示泛克里金方程组如下：
写成线性方程组的形式就是：
写成矩阵的形式即为：
对矩阵求逆即可求解和
用变异函数表示泛克里金方差如下：
# 3.泛克里金法案例应用
假设某一区域气温是非平稳的区域化变量，在南北方向（空间坐标的方向）上存在线性漂移，即
。若已知其涨落满足二阶平稳假设，并且拟合的协方差函数模型为球状模型，如下所示：
利用泛克里金对下表中的0号点进行估计。
# 3.1 漂移基函数元素的计算
由于漂移为。
时，
，因此
时，
，因此
那么有
# 3.2 两点之间距离和协方差函数
# 3.3经计算得到泛克里金方程组矩阵
根据2.4.2，列出泛克里金方差组矩阵
泛克里金方程组即体现距离关系（协方差衡量），又体现了非平稳特性（漂移函数）。
通过矩阵运算，求解得到
# 3.4 计算结果
将权重值带入泛克里金估计量公式，即可得到
将结果代入克里金估计方差，即可得到
因此0号点的泛克里金估计值为14.813，泛克里金方差为5.402。