96.不同的二叉搜索树
Snake8859 二叉树
# 题目描述
给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。
示例 1：
输入：n = 3
输出：5
1
2
2
示例 2：
输入：n = 1
输出：1
1
2
2
# 外地解法-二叉搜索树的构造
二叉树算法的关键就在于明确根节点需要做什么，其实 BST 作为一种特殊的二叉树，核心思路也是一样的。
举个例子，比如给算法输入n = 5，也就是说用{1,2,3,4,5}这些数字去构造 BST。
首先，这棵 BST 的根节点总共有几种情况？显然有 5 种情况对吧，因为每个数字都可以作为根节点。比如说我们固定3作为根节点，这个前提下能有几种不同的 BST 呢？根据 BST 的特性，根节点的左子树都比根节点的值小，右子树的值都比根节点的值大。所以如果固定3作为根节点，左子树节点就是{1,2}的组合，右子树就是{4,5}的组合。
左子树的组合数和右子树的组合数乘积就是3作为根节点时的 BST 个数。
我们这是说了3为根节点这一种特殊情况，其实其他的节点也是一样的。
那你可能会问，我们可以一眼看出{1,2}和{4,5}有几种组合，但是怎么让算法进行计算呢？
其实很简单，只需要递归就行了，我们可以写这样一个函数：
// 定义：闭区间 [lo, hi] 的数字能组成 count(lo, hi) 种 BST
int count(int lo, int hi);
1
2
2
根据这个函数的定义，结合刚才的分析，可以写出代码：
/* 主函数 */
int numTrees(int n) {
// 计算闭区间 [1, n] 组成的 BST 个数
return count(1, n);
}
/* 计算闭区间 [lo, hi] 组成的 BST 个数 */
int count(int lo, int hi) {
// base case
if (lo > hi) return 1;
int res = 0;
for (int i = lo; i <= hi; i++) {
// i 的值作为根节点 root
int left = count(lo, i - 1);
int right = count(i + 1, hi);
// 左右子树的组合数乘积是 BST 的总数
res += left * right;
}
return res;
}
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注意 base case，显然当lo > hi闭区间[lo, hi]肯定是个空区间，也就对应着空节点 null，虽然是空节点，但是也是一种情况，所以要返回 1 而不能返回 0。
这样，题目的要求已经实现了，但是时间复杂度非常高，肯定存在重叠子问题。
前文动态规划相关的问题多次讲过消除重叠子问题的方法，无非就是加一个备忘录：
class Solution {
int[][] memo; // 备忘录
public int numTrees(int n) {
// 备忘录初始化，值为0
memo = new int[n+1][n+1];
// 计算闭区间[1...n]组成的BST个数
return count(1, n);
}
// 计算闭区间[lo...hi]组成的BST个数
public int count(int lo, int hi){
if(lo > hi) return 1;
if(memo[lo][hi] != 0) return memo[lo][hi];
int res = 0;
for(int i = lo; i <= hi; i++){
// 以i作为根节点root
int left = count(lo, i - 1);
int right = count(i + 1, hi);
// 左右子树的组合乘积就是BST的总数
res += left * right;
}
memo[lo][hi] = res;
return memo[lo][hi];
}
}
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